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Nonholonomic Mechanical

Einleitung des Projektes

Was Bedeutet Nonholonomic Mechanical

Als Zwangsbedingung wird in der klassischen Mechanik eine Einschränkung der Bewegungsfreiheit eines Massenpunktes bezeichnet. Dadurch nimmt die Anzahl der Freiheitsgrade eines Systemes ab. Werden zuviele Zwangsbedingungen gestellt, kann es passieren, dass keine physikalische Lösung existiert.

Die Lagrangesche und die Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik sind besonders geeignet, Systeme mit Zwangsbedingungen zu beschreiben.

Zu unterscheiden sind folgende Arten von Zwangsbedingungen:

bulletHolonome Zwangsbedingungen beschreiben eine Beschränkung der Bewegungsfreiheit auf Flächen. Eine gleichzeitige Beschränkung auf zwei unterschiedliche, sich schneidende Flächen ist gleichbedeutend mit einer Beschränkung auf die Kurve, in der sich die Flächen schneiden.
bulletRheonome Zwangsbedingungen sind holonome Zwangsbedingungen mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass die Position oder Form der Flächen sich mit der Zeit ändern.
bulletSkleronome Zwangsbedingungen sind holonome Zwangsbedingungen mit zeitlich unveränderlichen Flächen. Holonome Zwangsbedingungen sind also entweder rheonom oder skleronom.
bulletNichtholonome Zwangsbedingungen sind Zwangsbedingungen, die sich nicht durch Beschränkungen auf Flächen beschreiben lassen. Hier sind zwei Fälle denkbar:
bulletBeschränkung des Massenpunktes auf einen Raumbereich.
bulletAbhängigkeit der Beschränkung von der Geschwindigkeit des Massenpunktes.

Holonom

Holonom (grch.: "ganz gesetzlich") bzw. das Gegenteil nicht-holonom sind Eigenschaften von mechanischen Systemen. Ein holonomes System von Körpern zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus: die Lage der Körper lässt sich durch n generalisierte Koordinaten q1, q2 ... qn beschreiben,
bulletdie gänzlich unabhängig von einander sind, oder
bulletdie durch m < n Bedingungen
a_i(q_1, q_2 ... q_n,t) = 0; i \in [1,m]
 
verbunden sind.

Enthält mindestens eine der Bedingungen ai eine oder mehrere Geschwindigkeitskoordinaten (zeitliche Ableitung der generalisierten Koordinaten), ist also von der Form

a_i(q_1, q_2 ... q_n, \dot{q}_1, \dot{q}_2 ... \dot{q}_n,t) = 0

und lassen sich die Geschwindigkeitskoordinaten nicht durch Integration eliminieren, so ist das System nicht-holonom

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Beispiel für ein nicht-holonomes System

Das Rad eines Fahrzeuges rollt ohne zu Gleiten auf einer ebenen Fläche ab. Die Unabhängigkeit der Koordinaten x, y, φ ist durch folgende nicht-integrable Bedingung eingeschränkt:

\dot{x} \cos \varphi + \dot{y} \sin \varphi =0

Während jede Konstellation des Systems mit den beliebig gewählten Koordinaten x, y und φ zulässig ist (3 Freiheitsgrade "im Großen"), gibt es beim Übergang von einer Konstellation zur infinitesimal benachbarten eine Einschränkung durch obige nicht-holonome Bedingung. Es existieren "im Kleinen" nur 2 Freiheitsgrade.

Noch deutlicher wird dieser Umstand, wenn wir den Sachverhalt auf ein vierrädriges Fahrzeug mit Vorderradlenkung (Automobil) übertragen: Auch wenn eine Parklücke ausreichend Platz für das Fahrzeug bietet, kann es unmöglich sein hineinzugelangen.

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Letzte Aktualisierung 09.01.2007 18:50

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